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By Ekkehard Krätzel

Im Mittelpunkt des Buches steht die Behandlung von Funktionalgleichungen analytischer Funktionen, die für die Anwendungen in der Zahlentheorie von Interesse sind. Ausgehend vom Gedankenkreis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes werden die analytischen Grundlagen durch die Jacobischen Thetafunktionen und die Dedekindsche Etafunktion gelegt und ihre Beziehungen zu den Gaußschen und Dedekindschen Summen erörtert. Anschließend werden Verallgemeinerungen dieser Funktionen bezüglich höherer arithmetischer Probleme besprochen. Schließlich werden analytische Funktionen über konvexen Körpern betrachtet und Abschätzungen von Gitterpunktanzahlen in konvexen Körpern vorgenommen.

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54) Z in der Halbebene Re(z) > 0, wobei der Logarithmus auf den Hauptzweig festgelegt o5ei. Beweis. Wir nehmen z > 0 an. Dies ist insofern keine Einschriinkung, als nach erfolgter Rechnung analytische Fortsetzung in die rechte Halbebene vorgenommen werden kann. (nz) n=l 00 00 1 1 '" '" - - . L L m27rz n=l m=l ~ 2m C+/iOO f(s)(27rmnz)-Sdo5 c-ioo c+ioo / f(05)((o5)((o5 + 1)(27rz)-Sdo5. 49) und der Beschriinktheit von ((05) auf Re(05) = c > 1 absolut konvergent. 45) anwenden. Aus den Eigenschaften der Gammafunktion KAPITEL 2.

3 KAPITEL 2. ATSGESETZE Die Jacobische Thetafunktion Es seien x, y E C. 9(x;y) = e21ri(xn+~n2). L n==-oo Sie ist absolut konvergent fUr alle endlichen x und alle y mit Im(y) > O. 9(x) stellt damit fUr festes y eine ganze transzendente Funktion in x dar. 9(x; y), wenn wir die Abhangigkeit von y betonen wollen. Die Beschrankung von y auf die Halbebene Im(y) > 0 sei in der Folge stets stillschweigend vorausgesetzt. Wir sehen sofort, daB die Thetafunktion in x periodisch ist mit der Periode l. 9(x).

33) definierte Gammafunktion. 17 Die Riemannsche Zetafunktion ist holomorph in der gesamten Ebene bis auf einen einfachen Pol bei 8 = 1 mit dem Residuum 1. Sie genugt der Funktionalgleichung 1T-~r (i) ((8) = 1T-I;Br C; 8) ((1- 8). Beweis. 9(Oj it) - I} dt. 30) der Thetafunktion. 9(Oj it) - I} dt. 1 1m ersten Integral fiihren wir beziiglich des ersten Summanden die Substitution t -+ I/t aus, den Rest des Integrals rechnen wir aus. Dann ist 1T-~r (i) ((8) = 8(8 1 ~ 1) + ~ (c~-! 9(Ojit) -I)dt. 1 Dieses Integral konvergiert fiir aIle 8 und stellt eine holomorphe Funktion dar.

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